Введение во фракталы

Многие исследователи рынка Forex видят отражение реальных экономических, политических и даже природных явлений в графике цен валютных пар. Но это также должно означать, что законы природы, окружающего мира, должны отражаться в трендах рынка Forex. Вместе с тем, последние научные исследования показывают, что природные процессы, геометрия природы, подчиняются закону самоподобия, который является главным и определяющим свойством так называемых фрактальных процессов. В результате, самоподобие явилось связующим фактором между фракталами и рынком Форекс и обусловило развитие направления оценки рынка с помощью фракталов. Результатом этой работы является разработка индикатора “Fractals” и стратегий его использования для прогнозирования поведения трендов.

В данном разделе приводится популярное введение во фракталы, как в научную область, которое может помочь трейдерам, использующих данный индикатор, лучше понимать его природу.

Что такое фрактал?

Предположим, что мы находимся на побережье некоторого острова в океане, длина побережья которого бесконечна. Такого не может быть! Скажет любой здравомыслящий человек. И окажется не прав. Рисунок ниже показывает пример построения фигуры с бесконечным периметром, но конечной площадью.

Кривая (остров) Коха

Построение начинается с выбора обычного равностороннего треугольника (см. рисунок выше). Затем, на каждой его стороне строится еще один равносторонний треугольник, сторона которого в три, а значит, площадь в девять раз меньше, чем у исходного. Данный процесс рекуррентно продолжается до бесконечности. В результате получается кривая, называется островом Коха.

Почему в итоге его побережье будет иметь бесконечную длину? Все очень просто. Можно заметить, что на втором шаге периметр фигуры увеличится в 4/3 раза. На третьем еще в 4/3. Это происходит из-за того, что каждый отрезок заменяется ломаной, длина которой в 4/3 раза больше. А 4/3 в степени n, при n стремящемся к бесконечности, также стремится к бесконечности. Если вспомнить знакомую из школьных времен геометрическую прогрессию, то можно убедиться, что площадь острова Коха конечна.

Теперь предположим, что мы измеряем периметр острова Коха линейкой определенной длины, например, 1 метр. При этом нам придется заменять (аппроксимировать) сложную изрезанную береговую линию ломаной со звеньями, не превышающие размер линейки, как это всегда делают географы. Это значит, что измеренный периметр берега будет зависеть от длины линейки. Это может показаться совершенно неожиданным. Но действительно, чем меньше длина линейки – тем больше измеренная длина побережья, т.к. в этом случае будет учтено больше мелких деталей, которые и дадут увеличение периметра. Таким образом, простейшая процедура измерения длины фрактальных кривых оказывается совсем не простой задачей.

Остров Коха имеет еще одну интересную особенность. Если предположить, что осуществляется съемка этого острова в океане из космоса и мы можем фотографировать его с любым увеличением, то окажется, что часть побережья будет тем меньше, чем больше увеличение! Типичная картина, такой съемки, которую мы увидим при фотографировании с разным увеличением, показана на рис.2. В крупном масштабе будет виден только большой зубец и несколько маленьких. После увеличения маленького зубчика (отмечен прямоугольником на первом рисунке) до размеров первоначального, опять увеличим то же самое. Снова выделяя такой же зубчик, мы снова и снова будем наблюдать ту же картину. И так до бесконечности. Это свойство выглядеть в любом, сколь угодно мелком масштабе примерно одинаково называется масштабной инвариантностью, а множества, которые им обладают - фракталами. Как же тогда характеризовать такие фрактальные кривые, если они, как в сказке про Алису в стране чудес, становятся какими-то зыбкими, ненадежными и начинают зависеть от размеров линейки?

Рис. 2. Пример фрактальной масштабной инвариантности

На это математики ответили как всегда просто и остроумно: "Важна не сама длина, а то, как она зависит от размеров линейки, т.е. важно некое число, называемое фрактальной размерностью". Для отрезка это число равно 1, для квадрата двум, для куба трем, а для фракталов оно составляет дробное число. Отсюда и само название "фракталы", т.е. дробный, неполный, частичный. Например, для кривой Коха размерность находится между 1 и 2. Такое значение говорит, что это уже не обычная кривая, но еще не плоскость.

Остров Коха это не выдуманная математиками фигура, она имеет непосредственное отношение к реальности. Так, английские военные топографы еще до войны заметили, что длина побережья Великобритании зависит от длины линейки, которой ее измеряют. Такая же зависимость определяет длину многих русел рек, побережье островов, путь, проходимый частицей при броуновском движении, и так далее.

Как же понять, что такое дробная размерность? Дробность размерности можно умозрительно представить себе в виде области определения кривой. Например, для линии область определения – принадлежит одномерному пространству, множество точек квадрата покрывают двумерное пространство, а область определения кривой Коха - полоса в двумерном пространстве, т.е. и не линия и не плоскость – дробная размерность.

Можно привести пример еще одного известного фрактала, называемого ковер Серпинского и придуманный польским математиком в 1915 г. Построение данной фигуры выполняется следующим образом. Сначала берется равносторонний треугольник вместе с областью (множеством точек), которую он охватывает (см. рисунок ниже). Затем, из этого треугольника вырезается центральная треугольная область как это отмечено на рисунке б. После многократных повторений таких действий получается изображение ковра Серпинского (рисунок с).

Схема построения ковра Серпинского

Интересной особенностью данной фигуры является то, что площадь удаленных частей в точности равна площади исходного треугольника. Действительно, сначала площадь треугольника была равна единице. Затем, на первом шаге удалили 1/4 его площади, на втором и т.д. В пределе, при числе таких шагов стремящихся к бесконечности, получается сходящийся ряд:

.

Таким образом, можно утверждать, что ковер Серпинского имеет нулевую площадь!

В общем случае существует много разных фракталов, но все они обладают двумя свойствами: масштабная инвариантность (самоподобие) и дробность размерности.